Liczba „e”: Szereg Taylora i wzór Eulera

Pobawmy się słynnym wzorem Eulera:

\[e^{ix}=\cos x + i\sin x.\]

O tym wzorze R.P. Feynman w swoich Wykładach napisał, że jest to ,,najwspanialszy wzór matematyki’’ (,,the most remarkable formula in mathematics’’). Z niego bierze się wiele rzeczy, a z ciekawostek również to, że dla $x=\pi$ dostajemy słynną tożsamość $e^{i\pi}+1=0$, wiążącą pięć wielkich liczb matematyki.

Ten wpis jest dostosowanym do bloga rozdziałem mojej książki: M. Szewczyk, Metody analityczne w obliczeniach procesów łączeniowych w systemie elektroenergetycznym, OWPW 2024. A bardziej u źródła, również pięknej książki: Fichtenholz G. Rachunek różniczkowy i całkowy, Tom II. PWN, Warszawa, 1965. Tytuł oryginału: Г. М. Фихтенгольц, Григорий Михайлович Фихтенгольц: Курс дифференциального и интегрального исчисления, Москва-Ленинград 1958.

Szereg Taylora

Wzór Eulera: $e^{ix}=\cos x + i\sin x$ można uzyskać, badając rozwinięcia funkcji $e^x$, $\cos x$, $\sin x$ w szereg potęgowy Taylora dla $x_0=0$:

\[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{f^{(n)}(0)\over n!}x^n\:\:.\]

W przypadku funkcji elementarnych kolejne pochodne $f^{(n)}(0)$ we wzorze Taylora obliczane są zgodnie ze znanymi wzorami:

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x = e^x,\:\:\: \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos{x} =-\sin{x},\:\:\: \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin{x} = \cos{x}.\]

Ponieważ funkcja $e^x$ odtwarza swoją postać w kolejnych stopniach pochodnej, $(e^x)^{\prime}_x=e^x$, mamy więc natychmiast ze wzoru Taylora rozwinięcie tej funkcji w szereg potęgowy:

\[e^x=\sum_{n=0}^{\infty}{x^n\over n!}.\]

W przypadku funkcji $\cos x$ tylko wyrazy parzyste, a w przypadku funkcji $\sin x$ tylko wyrazy nieparzyste są niezerowe (ponieważ w obu przypadkach pozostałe pochodne są funkcjami proporcjonalnymi do $\sin x$, które zerują się dla $x=0$), a przy tym kolejne wyrazy zmieniają naprzemiennie znak, począwszy od $+$.

Zatem dla $\cos x$:

\[\cos x = {x^0\over0!}+0-{x^2\over2!}+0+{x^4\over4!}+0-{x^6\over6!}+0+{x^8\over8!}+0-\ldots \approx\] \[\approx 1-{x^2\over2!}+{x^4\over4!}-{x^6\over6!}+{x^8\over8!}-\ldots +{(-1)^Nx^{2N}\over (2N)!} =\sum_{n=0}^{N}{(-1)^nx^{2n}\over (2n)!}\]

i analogicznie dla $\sin x$:

\[\sin x ={x^1\over1!}+0-{x^3\over3!}+0+{x^5\over5!}+0-{x^7\over7!}+0+{x^9\over9!}+0-\ldots\approx\] \[\approx x-{x^3\over3!}+{x^5\over5!}-{x^7\over7!}+{x^9\over9!}-\ldots +{(-1)^Nx^{2N+1}\over (2N+1)!} =\sum_{n=0}^{N}{(-1)^nx^{2n+1}\over (2n+1)!}.\]

Zatem dla wszystkich trzech funkcji: $e^x$, $\cos x$ i $\sin x$, mamy:

\[e^x=\sum_{n=0}^{\infty}{x^n\over n!}\:\:, \:\:\: \cos x=\sum_{m=0}^{\infty}{(-1)^nx^{2n}\over (2n)!}\:\:, \:\:\: \sin x=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^nx^{2n+1}\over (2n+1)!}\:\:.\]

Tasowanie

Dalej należy, odpowiednio przestawiając i grupując (tasując) wyrazy w rozwinięciu funkcji $e^x$:

\[e^x=\sum_{n=0}^{\infty}{x^n\over n!},\]

dostrzec w rozwinięciu funkcji $e^x$ rozwinięcia funkcji $\cos x$ i $\sin x$.

Są na to ciekawe twierdzenia dotyczące permutacji (tasowania) wyrazów szeregów, z których wynika, że, istotnie, w powyższych szeregach można przestawiać i grupować wyrazy.

Wzór Eulera

Mogąc tasować wyrazy szeregu Taylora oraz przyjmując w tym szeregu $ix$ zamiast $x$, gdzie $i^2 = -1$, czyli przyjmując $T_{e^{ix}}=e^{ix}$, możemy zapisać:

\[e^{ix}=\sum\limits_{n=0}^\infty{(ix)^n\over n!} =\sum\limits_{n=0}^\infty{\left[ {(ix)^{2n}\over (2n)!} + {(ix)^{2n+1}\over (2n+1)!} \right]} = \sum\limits_{n=0}^\infty{ {(-1)^n\over (2n)!}x^{2n}} + i\sum\limits_{n=0}^\infty{ {(-1)^n\over (2n+1)!}x^{2n+1}},\]

gdzie: $(ix)^n=i^nx^n$, $i^{2n}=(i^2)^n = (-1)^n$ oraz $i^{2n+1}=2^{2n} i~= (-1)^ni$.

Dostrzegając w powyższym zapisie szeregi Taylora funkcji $\cos x=T_{\cos x}$ oraz $\sin x=T_{\sin x}$, można powyższy wzór zapisać w postaci nazywanej wzorem Eulera:

\[T_{e^{ix}}=T_{\cos x} + i~T_{\sin x}\:\:\Rightarrow\:\: \boxed{\:e^{ix}=\cos x + i\sin x\:}\:.\]