Liczba „e”: Skąd się bierze i dlaczego jest ważna

Idziemy teraz z grubej rury. Odpoczywamy od instalacji i konfiguracji i zanurzamy się w odrobinę ciekawej, prostej matematyki.

Ten wpis jest dostosowanym do bloga rozdziałem mojej książki: M. Szewczyk, Metody analityczne w obliczeniach procesów łączeniowych w systemie elektroenergetycznym, OWPW 2024.

Funkcja wykładnicza $a^x$ i eksponencjalna $e^x$

Funkcja $e^x$ uznawana jest za jedną z najważniejszych funkcji analizy matematycznej. Doniosłym miejscem jej wprowadzenia jest obliczenie pochodnej funkcji wykładniczej, $a^x$, a następnie rozważenie tej pochodnej dla pewnej szczególnej podstawy, i wprowadzenie dla niej oznaczenia jako $a=e$. Uzyskuje się wówczas funkcję eksponencjalną, $e^x$, przy czym stosuje się również oznaczenie: $e^x=\exp(x)$.

Wprowadźmy proste nazwy: $a$ nazywamy podstawą, a $x$ nazywamy wykładnikiem funkcji $a^x$.

Poniżej zamieszczam ciekawą intuicję wynikającą z definicji pochodnej i z pewnego prostego oszacowania numerycznego. W kursie analizy matematycznej liczba $e$ jest wprowadzana wcześniej niż pochodne, już przy badaniu zbieżności ciągów i szeregów nieskończonych. Ale ta intuicja numeryczna jest na tyle ciekawa, że warto za nią podążyć.

Punktem wyjściowym jest prosty wzór definicyjny pochodnej funkcji $f(x)$ jako granicy:

\[\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x} =\lim_{\Delta x\to 0}{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}.\]

Pochodna funkcji wykładniczej $a^x$

Pochodną funkcji wykładniczej $a^x$ obliczamy, korzystając wprost z podanej wyżej definicji pochodnej:

\[\frac{\mathrm{d}a^x}{\mathrm{d}x} =\lim_{\Delta x\to 0}{\frac{a^{x+\Delta x} - a^x}{\Delta x}} =\lim_{\Delta x\to 0}{a^x\frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}} =a^x\lim_{\Delta x\to 0}{\frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}}.\]

Zauważamy natychmiast, że granica występująca w powyższym wzorze (ostatni limes po prawej stronie) nie zależy od zmiennej niezależnej $x$, a zależy od $a$. Będzie to istotne dla dalszego badania, dlatego dla uwidocznienia tego faktu zapisujemy powyższy wzór w postaci:

\[\frac{\mathrm{d}a^x}{\mathrm{d}x} =C_a a^x,\:\:\:\text{gdzie:}\:\:C_a=\lim_{\Delta x\to 0}{\frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}}.\]

Zatem pochodna funkcji wykładniczej $a^x$ jest równa tej samej funkcji $a^x$ pomnożonej przez pewną liczbę $C_a.$ Przy czym stała $C_a$ jest niezależna od $x$, natomiast jest zależna od $a$. Ta liczba $C_a$ jest równa podanej wyżej granicy.

Oszacowanie numeryczne stałej $C_a$

Ścisłe obliczenie granicy $C_a$ wymaga głębszego wglądu w strukturę analizy matematycznej, w szczególności odwołania się do ,,języka’’ ciągów i wyrażenia w tym języku liczby $e$. Zamiast tego przedstawię pewne proste oszacowanie numeryczne, ponieważ sama intuicja wynikająca z tego oszacowania jest tak interesująca, że warto za nią podążyć.

Tab. 1. Wartości stałej $C_a$ obliczone dla $a=2$, $a=3$ oraz dla $2<a=e<3$, przy określonym $\Delta x.$

$\Delta x$	$C_{a=2}$	$C_{a=e\approx 2.71828\ldots}$	$C_{a=3}$
$10^{-1}$	0.7177346	1.0517092	1.1612317
$10^{-2}$	0.6955550	1.0050167	1.1046691
$10^{-3}$	0.6933874	1.0005002	1.0992159
$10^{-4}$	0.6931712	1.0000500	1.0986726
$10^{-5}$	0.6931495	1.0000050	1.0986183
$10^{-6}$	0.693147(4) $< 1$	1.000000(5) $\approx 1$	1.098612(8) $> 1$

Zauważając, że granica $C_a$ jest funkcją podstawy $a$, w tab. 1 zbadano wartości tej granicy dla $a=2$ oraz $a=3$, a także dla pewnej pośredniej wartości $2<a<3$, obliczając tę granicę dla każdej z tych trzech wartości $a$ i przyjmując coraz mniejsze wartości $\Delta x=10^{-1}, 10^{-2}, \ldots, 10^{-6}$. Dla najmniejszej wartości $\Delta x = 10^{-6}$ obliczone wartości granic $C_a$ różnią się od wartości dowolnie dokładnych (dla $\Delta x\to 0$) na ostatnim miejscu po przecinku (zaznaczonym w tab. 1 nawiasem).

Zauważamy, że przy $\Delta x = 10^{-6}$, dla $a=2$ mamy $C_{a=2}<1$, a dla $a=3$ mamy $C_{a=3}>1$. Ponieważ $C_a$ jest funkcją ciągłą względem $a$ (wzór powyżej), więc pomiędzy krańcami $a=2$ i $a=3$ musi istnieć taka wartość $a$, dla której funkcja $C_{a}$ przyjmuje wartość $1$.

Wartość podstawy $a$, przy której stała $C_a$ występująca we wzorze na pochodną funkcji wykładniczej $(a^x)^\prime_x=C_aa^x$ przybiera wartość $1$, nazywamy liczbą $e$.

Jest to liczba niewymierna (czyli taka, której nie można przedstawić w postaci ilorazu liczby całkowitej i liczby całkowitej różnej od zera), wynosząca w przybliżeniu $e\approx 2.7182818284590452\dots$:

\[C_{a=e}=\lim_{\Delta x\to 0}{\frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x}}=1.\]

Wynik końcowy

Stąd wynika, zgodnie z powyższymi wzorami, że dla $a=e$ mamy:

\[\frac{\mathrm{d}e^x}{\mathrm{d}x}=e^x.\]

Czyli pochodna funkcji $e^x$ jest równa samej sobie.

Fakt ten ma wiele bardzo doniosłych konsekwencji.